8.8 转动：平动—转动对照

来源： ➕ 考纲 · 课堂笔记 §4.5（转动量）

整套直线运动（平动 Translation）的力学都能搬到转动（Rotation）上——每一个平动量都对应一个类比的转动量。记住左栏，就能「翻译」出右栏。

核心思想： 转动时，重要的不只是物体有多少质量，还有它分布在多靠外——因为越靠外的质量越难被带动旋转。这一点正由转动惯量概括。

四个转动量

角速度 $\omega$——速度 $v$ 的对应量：转角变化的快慢（不再是「米每秒」，而是「弧度每秒」）。与轨道速度的关系：$v=\omega \cdot r$。

转动惯量 $I$——质量 $m$ 的对应量：抗拒转动（抗拒改变转动状态）的量度。对距轴 $r$ 处的一个质点：

$$I=m\cdot r^2$$

关键：$I$ 与到转轴的距离 $r$ 的平方成正比——同样的质量越靠外，转动惯量大得多。

力矩 $M$——力 $F$ 的对应量：力的「转动效果」，即力乘以力臂：

$$\boxed{{\displaystyle M=F\cdot r}}$$

转动能 $E_{\text{rot}}$——动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 的对应量：转动物体的运动能量：

$$\boxed{{\displaystyle E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2}}$$

符号	含义	单位
$I$	转动惯量	kg·m²
$\omega$	角速度	rad/s
$M$	力矩	N·m
$E_{\text{rot}}$	转动能	J
$r$	到转轴的距离 / 力臂	m

对照表

只需把每个平动量换成它的转动对应量——公式具有相同的结构：

平动（直线）	↔	转动
质量 $m$	↔	转动惯量 $I=m{r}^2$
速度 $v$	↔	角速度 $\omega$
力 $F$	↔	力矩 $M=Fr$
动量 $p=mv$	↔	角动量 $L=I\omega$
动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$	↔	转动能 $\frac{1}{2}I{\omega }^2$
第二定律 $F=ma$	↔	$M=I\alpha$（$\alpha$ = 角加速度）

✎ 衔接 §8.6——同一个角动量，两种写法。 §8.6 里角动量写作 $L=mvr$。用 $v=\omega r$ 与 $I=m{r}^2$：$L=m(\omega r)r=m{r}^2\cdot \omega =I\omega$。于是 $L=I\omega$——正是 $p=mv$ 的转动对应。这直观地解释了角动量守恒：花样滑冰运动员收臂时减小了 $I$（质量向内收）——因为 $L=I\omega$ 守恒，$\omega$ 必须增大：她转得更快。

✎ 为什么实心球比圆环滚得快？ 滚下时，位能分配到两种能量：$E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$。圆环质量全在外缘 → $I$ 大 → 更多能量进入转动、更少留给 $v$ → 到底更慢。实心球 $I$ 较小 → 到底更快。（质量相消——物体多重无关紧要，只看质量如何分布。）